اسرار عدد فی / Ф

لئوناردو دا پیزا (به ایتالیایی: Leonardo da Pisa) یا به عبارت مشهورتر لئوناردو فیبوناچی (Fibonacci) یکی از بزرگ‌ترین ریاضیدانان اروپا در سال ۱۱۷۵ در شهر پیزا متولد شد. وی به علت حرفه پدریش که بازرگانی بود به کشورهای بسیاری از جمله مصر و سوریه و... مسافرت نمود. فیبوناچی در سال ۱۲۰۰ به زادگاه خود یعنی شهر پیزا در ایتالیا مراجعت نمود. پدر فیبوناچی گوگلیمو (Guglielmo) بوناچی (مهربان، ملایم bonacci ) خوانده می‌شد. مادر لئوناردو آلساندرا، (Alessandra) زمانی که لئو نه سال داشت درگذشت. لئوناردو پس از مرگش فیبوناچی نام گرفت. (برگرفته از فیلیوس بوناچی به معنای پسر بوناچی)

معرفی سیستم اعداد اعشاری به عنوان جایگزینی بسیار کارآمدتر به جای سیستم اعداد رومی که استفاده از آن از زمان امپراتوری روم رایج بوده‌است از جمله مهم‌ترین کارهای این ریاضیدان بزرگ در طول حیاتش بوده‌است. وی در ابتدای اولین بخش از کتاب خود به نام Liber abci در مورد این سیستم چنین می‌گوید:

«نه رقم هندی وجود دارد: ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ که به‌وسیله آنها و همچنین علامت ۰ که در عربی صفر نامیده می‌شود می‌توان هر عددی را به شیوهای که توضیح داده خواهد شد نوشت.»

لئوناردو دا پیزا (به ایتالیایی: Leonardo da Pisa) یا به عبارت مشهورتر لئوناردو فیبوناچی (Fibonacci) یکی از بزرگ‌ترین ریاضیدانان اروپا در سال ۱۱۷۵ در شهر پیزا متولد شد. وی به علت حرفه پدریش که بازرگانی بود به کشورهای بسیاری از جمله مصر و سوریه و... مسافرت نمود. فیبوناچی در سال ۱۲۰۰ به زادگاه خود یعنی شهر پیزا در ایتالیا مراجعت نمود. پدر فیبوناچی گوگلیمو (Guglielmo) بوناچی (مهربان، ملایم bonacci ) خوانده می‌شد. مادر لئوناردو آلساندرا، (Alessandra) زمانی که لئو نه سال داشت درگذشت. لئوناردو پس از مرگش فیبوناچی نام گرفت. (برگرفته از فیلیوس بوناچی به معنای پسر بوناچی)

معرفی سیستم اعداد اعشاری به عنوان جایگزینی بسیار کارآمدتر به جای سیستم اعداد رومی که استفاده از آن از زمان امپراتوری روم رایج بوده‌است از جمله مهم‌ترین کارهای این ریاضیدان بزرگ در طول حیاتش بوده‌است. وی در ابتدای اولین بخش از کتاب خود به نام Liber abci در مورد این سیستم چنین می‌گوید:

«نه رقم هندی وجود دارد: ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ که به‌وسیله آنها و همچنین علامت ۰ که در عربی صفر نامیده می‌شود می‌توان هر عددی را به شیوهای که توضیح داده خواهد شد نوشت.»

 

 

 

 

 

 

عدد فی (phi)ا Ф

Ф = 1.618

 

در قرن 12، لئوناردو فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) دنباله ی مشهور خود را معرفی نمود. جمله ی بعدی برابر مجموع دو جمله ی قبلی خود می باشد.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

عدد فی از دنباله ی فیبوناچی مشتق شده است، تصاعد مشهوری که شهرتش تنها به این دلیل نیست که هرجمله با مجموع دو جمله ی پیشین خود برابری می کند. بلکه به این دلیل است که خارج قسمت هر دو جمله ی کنار هم خاصیت حیرت انگیز، نزدیکی به عدد 1.618 را دارد.

نکته ی جالب این است که عدد فی با عدد پنج نسبت جالبی دارد که در زیر مشاهده می کنید:

5.+5.*5.^5 = Phi

 

در زیر مقداری از این عدد نا متناهی را می بینید:

1.61803398874989484 8204586834365638 1177203091798057 6286213544862270 526046281890 2449707207204189391 1374847540880753 8689175212663386 2223536931793180 06076672635 4433389086595939582 9056383226613199 2829026788067520 8766892501711696 20703222104 3216269548626296313 6144381497587012 2034080588795445 4749246185695364 86444924104 4320771344947049565 8467885098743394 4221254487706647 8091588460749988 71240076521 7057517978834166256 2494075890697040 0028121042762177 1117778053153171 41011704666 5991466979873176135 6006708748071013 1795236894275219 4843530567830022 87856997829 7783478458782289110 9762500302696156 1700250464338243 7764861028383126 83303724292 6752631165339247316 7111211588186385 1331620384005222 1657912866752946 54906811317 1599343235973494985 0904094762132229 8101726107059611 6456299098162905 55208524790 3524060201727997471 7534277759277862 5619432082750513 1218156285512224 80939471234 1451702237358057727 8616008688382952 3045926478780178 89921 9902707769038953219 68 1 9861514378031499741 1069260886742962 2675756052317277 7520353613936210 76738937645 5606060592165894667 5955190040055590 8950229530942312 4823552122124154 44006470340 5657347976639723949 4994658457887303 9623090375033993 8562102423690251 38680414577 9956981224457471780 3417312645322041 6397232134044449 4873023154176768 93752103068 7378803441700939544 0962795589867872 3209512426893557 3097045095956844 01755519881 9218020640529055189 3494759260073485 2282101088194644 5442223188913192 94689622002 3014437702699230078 0308526118075451 9288770502109684 2493627135925187 60777884665 8361502389134933331 2231053392321362 4319263728910670 5033992822652635 56209029798 6424727597725655086 1548754357482647 1814145127000602 3890162077732244 99435308899 9095016803281121943 2048196438767586 3314798571911397 8153978074761507 72211750826 9458639320456520989 6985556781410696 8372884058746103 3781054443909436 83583581381

....

 حیوانات، گیاهان و حتی انسان ها همگی با دقتی بسیار بالا وجوهی از ضرایب فی به یک می باشند. دانشمندان قدیم  1.618 را نسبت الهی عنوان کرده اند. برای آشنایی بیشتر با این نسبت به چند نمونه ی زیر توجه کنید:

در یک کندوی عسل همیشه تعداد زنبورهای ماده از نرها بیشتر است. حال اگر تعداد زنبورهای ماده را به نر تقسیم کنیم در هر کندویی در هر گوشه ی دنیا یک عدد ثابت بدست می آید. که همان فی است.

نسبت قطر مارپیچ های حلزون نیز نسبت 1.618 به یک را دارد

تخمه های آفتابگردان به شکل مارپیچ هایی روبروی هم رشد می کنند. نسبت قطر هر دایره به دایره بعدی 1.618 می باشد.

به نسبت های طولی و عرضی خطوط رنگی دقت کنید... نسبت خطوط به هم 1.618 می باشد.
	نسبت طولی و عرضی خال های پروانه ها، نسبت فی است

داوینچی اولین کسی بود که نسبت دقیق استخوان های انسان را اندازه گیری نمود و ثابت کرد که این تناسبات با ضریب عدد فی هستند. فاصله سر تا زمین را تقسیم بر فاصله ی شکم تا زمین نمایید. عدد حاصله 1.618 می باشد. فاصله شانه ها تا نوک انگشت تقسیم بر فاصله آرنج تا نوک انگشت هم بیانگر عدد فی می باشد. نمونه های دیگر: باسن تا زمین تقسیم بر زانو تا زمین مفاصل انگشتان... تقسیمات ستون فقرات و ...   در بدن انسان مثالهای بسیار فراوانی از این نسبت طلایی وجود دارد. در شکل زیر نسبت M/m یک نسبت طلایی است که در جای جای بدن انسان می توان آنرا دید. به عنوان مثال نقاطی از بدن که دارای نسبت طلایی هستند: نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا اینها تنها چند مثال از وجود نسبت طلایی در بدن انسان بود که بدن انسان را در حد کمال زیبایی خود نشان می دهد. در تصاویر زیر نسبت خط سفید به آبی، آبی به زرد، زرد به سبز و سبز به بنفش یک نسبت طلایی است!!

همان طور که می دانید DNA زنجیره ی حیاتی هر موجودی است که در آن کلیه اطلاعات آن موجود بصورت کد و زنجیروار قرار دارد. 34آنگستروم طول و 21 آنگستروم پهنا دارد.

 و 34 و 21 جزو اعداد سری فیبوناچی هستند و تقسیم آنها بر یکدیگر عدد 1.61904 را نشان می دهد که کاملا نزدیک 1.6180339 می باشد.

دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید. در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام “نسبت طلایی” یا Golden Ratio.

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی a²=a*b+b² را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا” 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد که به تدریج راجع به آن صحبت خواهیم کرد.

اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا” 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi²=phi+b² خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا” عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا” معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : “هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد”.

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

آشنایی با سری فیبوناچی

 

باورکردنی نیست اما در سال 1202 لئونارد فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) توانست به یک سری از اعداد دست پیدا کند که بعدها بعنوان پایه برای بسیاری از رابطه های فیزیک و ریاضی استفاده شد، کافی است از عدد صفر و یک شروع کنید. آنها را کنار هم بگذارید و عدد بعدی را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آورید، بسادگی به این رشته از اعداد خواهید رسید :

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, …

البته برخی از ریاضی دانان عدد صفر را جزو رشته فیبوناچی نمی دانند و یا حداقل آنرا جمله صفرم سری می دانند. نکته ای که تعجب برانگیز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد این سری را به عدد قبلی حساب کنیم خواهیم داشت :

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, …

و یا :

1, 2, 1.5, 1,666, 1.6, 1,625, 1.6153, 1.6190, 1.6176, 1.6181, 1.6179و …

بله بنظر می رسد که این رشته به سمت همان عدد طلایی معروف میل میکند. بگونه ای که اگر نرخ عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد 1.618033988749895 می رسیم که با تقریب 14 رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می دهد.

بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا با بتقریب می توان اینگونه نمایش داد :

f_n =  Phi ⁿ / 5^½

که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.

معمای زاد و ولد خرگوش!

در واقع فیبوناچی در سال 1202 به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :

- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما” باردار می شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی میرند.

حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟ (پاسخ را شما بدهید)

مارپیچ فیبوناچی

به شکل زیر نگاه کنید و ببینید که به چه زیبایی از کنار هم قرار دادن تعدادی مربع می توان رشته فیبو ناچی را بصورت هندسی نمایش داد. حال اگر در هر یک از این مربع ها از نقاط قرمز ربع دایره هایی رسم کنیم در نهایب به نوعی از مارپیچ حلزونی شکل می رسیم که به مارپیچ فیبوناچی (Fibonacci Spiral) معروف می باشد. بدیهی است که نرخ رشد و باز شدن این مارپیچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سری فیبوناچی می باشد.

            

سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزک و علوم طبیعی کاربردهای بسیار دیگری دارد، ارتباط زیبای فاصله های خوش صدا در موسیقی، چگونگی تولد یک کهکشان و … که کاربرد این سری جادویی را بیش از پیش نشان می دهد.

ذره ای کوچک از نظم بزرگ هستی ما

منابع : وبلاگ علمی ایران دانش

ویکی پدیا

 tishtarstar.persianblog.ir

http://www.amanazdeleman.blogfa.com